Question

在△ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，D为AC的中点，EC∥PA
（1）求直线PD与平面PAB所成角的正弦值；
（2）当EC为多少时，PD⊥平面BED．

Answer 1

分析：（1）取AB中点F，则DF∥BC，连接PF，通过证明BC⊥面PAB得出DF⊥面PAB，∠DPF为PD与平面PAB所成角，在RT△PDF中求解即可
（2）要使PD⊥平面BED，易证PD⊥BD，只需PD⊥DE即可．相应的△PAD∽△DCE，由此求出EC的长．

解答：解：（1）取AB中点F，则DF∥BC，连接PF，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，AB∩PA=A
∴BC⊥面PAB，∴DF⊥面PAB，
∴∠DPF为PD与平面PAB所成角．
在RT△PDF中DF=1，PD²=PA²+AD²=2²+

2

²=6，
sin∠DPF=

DF

PD

=

1

6

=

6

6

直线PD与平面PAB所成角的正弦值是

6

6

（2）∵PA⊥平面ABC，EC∥PA，∴P，A，E，C四点共面．
∴面PAEC⊥面ABC，面PAEC∩面ABC=AC，
又BD⊥AC，所以BD⊥面PACE，所以BD⊥PD，
要使PD⊥平面BED，只需PD⊥DE．
由PD⊥DE得：△PAD∽△DCE，∴CE=AD•

CD

PA

=

2

即当EC为

2

时，PD⊥平面BED．

点评：本题考查直线和直线、直线和平面垂直关系的判定，直线和平面所成角的计算．考查空间想象能力、转化、计算、推理论证能力．