Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。

   （I）求证：AF//平面BCE；

   （II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

   （III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。

Answer 1

【解】（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，

∴FP//DE，且FP=  又AB//DE，且AB=

∴AB//FP，且AB=FP，  ∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。

又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF//平面BCE。 ………………3分

   （II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。

又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。……………………6分

   （III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0），

显然，为平面ACD的法向量。

设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为

，

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。……………………12分