Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥AE；
（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由题意利用线面PA⊥底面ABCD得线线PA⊥CD，进而得线面CD⊥平面PAC，即可得证；
（II）由题意可得AE⊥PC，由（I）知，AE⊥CD，进而得到AE⊥平面PCD，在由线线垂直得PD⊥平面ABE；
（III）因为AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD．因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角，然后再在三角形中求出即可．

解答：解：（I）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
而AE?平面PAC，
∴AE⊥CD．
（II）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由（I）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又AB∩AE=A，综上得PD⊥平面ABE．

（III）过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM．
由（II）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD．
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
由已知，得∠CAD=30°．设AC=a，可得PA=a，AD=

2 3

3

a，PD=

21

3

a，AE=

2

2

a．
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM．PD=PA．AD．则AM=

PA．AD

PD

=

a. 2 3 3 a

21 3 a

=

2 7

7

a．
在Rt△AEM中，sinAME=

AE

AM

=

14

4

．
所以二面角A-PD-C的大小是acrsin

14

4

．

点评：此题重点考查了利用线面垂直得到线线垂直进而在得线面垂直再得线线垂直，利用二面角平面角的定义及射影的实质，得到二面角的平面角并在三角形中解出角的大小，还考查了反三角函数的知识．