Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为

2

2

，长轴长小于4

2

，点A在直线x=2上，且FA的最小值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P（x₀，y₀）是椭圆C上第一象限内的点，O是坐标原点，直线OP与椭圆C的另一交点为Q，点T在C上，且PT⊥PQ；
①若PT的斜率为k，QT的斜率为k₁，问kk₁是否为定值，若为定值，求出kk₁；若不是定值，说明理由．
②若QT交x轴于M，求△PQM的面积的最大值，并写出此时T点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出右焦点，运用离心率公式，得到b=c，由点到直线的距离公式，得到方程，解得即可得到c，再由a，b，c的关系，即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①运用斜率公式和点差法，即可得到定值；
②运用直线方程，求出M，再由面积公式，即可得到△PQM的面积，再由椭圆的参数方程，结合二倍角公式，即可得到最大值，进而得到点P的坐标，再由PT的方程，联立椭圆方程，即可解得交点T．

解答： 解：（1）设右焦点为F（c，0），
由于离心率为

2

2

，则b=c，a=

2

c，由于长轴长小于4

2

，即a＜2

2

．
由于点A在直线x=2上，且FA的最小值为1，则|c-2|=1，解得，c=3或1．
由于c＜2，则c=1，a=

2

，b=1，
则椭圆方程为：

x2

2

+y2=1；
（2）①点P（x₀，y₀）是椭圆C上第一象限内的点，则x₀²+2y₀²=2，
直线OP与椭圆C的另一交点为Q，则为Q（-x₀，-y₀），
设T（x₁，y₁），则k=

y1-y0

x1-x0

，k₁=

y1+y0

x1+x0

，则kk₁=

y12-y02

x12-x02

由于x₀²+2y₀²=2，x₁²+2y₁²=2，两式相减可得，
（x₁²-x₀²）+2（y₁²-y₀²）=0，则有kk₁=-

1

2

，则kk₁为定值，且为-

1

2

；
②直线OP的方程为：y=-

1

k

x，k=-

x0

y0

，
直线QT：y+y₀=-

1

2k

（x+x₀），令y=0，则x=-2ky₀-x₀=x₀，即M（x₀，0），
则△PQM的面积为△POM和△QOM的面积之和，即为S=

1

2

x₀（y₀+y₀）=x₀y₀，
由椭圆方程的参数式，x₀=

2

cosα，y₀=sinα，
则有S=

2

sinαcosα=

2

2

sin2α≤

2

2

，
当sin2α=1，即有α=

π

4

，x₀=1，y₀=

2

2

，即P（1，

2

2

），
由PT：y-

2

2

=-

2

（x-1），
联立椭圆方程：

x2

2

+y2=1，解得T（

7

5

，

2

10

）
此时△PQM的面积的最大值为

2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率公式及运用，考查联立直线方程和椭圆方程求交点，运用点差法求斜率之积，考查运算能力，属于中档题．