题目内容

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1-x）=x²-3x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-（1+2m）x+1（m∈R）在 $数学公式$ 上的最小值为-2，求m的值．

解：（1）令t=1-x，则x=1-t
∵f（1-x）=x²-3x+3．
∴f（t）=（1-t）²-3（1-t）+3=t²+t+1．
即f（x）=x²+x+1．
（2）由（1）得g（x）=f（x）-（1+2m）x+1=x²-2mx+2=（x-m）²+2-m²，x∈ $\text{[math]}$
若m≥ $\text{[math]}$ ，则当x=m时，g（x）取最小值2-m²=-2，
解得m=2，或m=-2（舍去）
若m＜ $\text{[math]}$ ，则当x= $\text{[math]}$ 时，g（x）取最小值 $\text{[math]}$ -3m=-2，
解得m= $\text{[math]}$ （舍去）
综上可得：m=2
分析：（1）令t=1-x，则x=1-t，利用换元法，根据f（1-x）=x²-3x+3．可得函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）中函数f（x）的解析式，求出函数g（x）的解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行分类讨论，可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的最值及其几何意义，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．