Question

设P为曲线

x=-1+cosθ y=2+sinθ

(θ为参数）上任意一点，A（3，5），则|PA|的最小值为

 

．

Answer 1

分析：设P的坐标为（x，y），然后根据两点间的距离公式表示出|PA|的长，把所表示的式子化简后，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到|PA|的最小值．

解答：解：设P（x，y），则|PA|=

(-1+cosθ-3)2+(2+sinθ-5)2

=

26-10( 4 5 cosθ+ 3 5 sinθ)

=

26-10sin(α+θ)

（其中α为锐角且sinα=

4

5

）
当sin（α+θ）=1时，|PA|最小，所以|PA|的最小值为

26-10

=4
故答案为：4

点评：此题考查学生灵活运用两点间的距离公式化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数值域的求法，是一道中档题．