Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=+（n≥2），a₁=1．
（1）证明：数列是等差数列．并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：．

Answer 1

解：（1）∵，（n≥2）
又b_n≥o，，∴，
又，所以数列是一个首项为1公差为1的等差数列．
，s_n=n²．
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；a₁=1适合上式，∴a_n=2n-1（n∈N）．
（2）=，
T_n=b₁+b₂++b_n
；
=
=
∵n∈N，∴，，，即．
分析：（1）利用平方差公式对题设中的等式化简整理求得，进而根据等差数列的定义判断出数列是一个首项为1公差为1的等差数列．进而根据首项和公差求得数列的通项公式，进而根据a_n=S_n-S_n-1求得a_n．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，进而根据裂项法求得前n项的和，求得T_n=，进而利用推断出，原式得证．
点评：本题主要考查了等差关系的确定和数列的求和，数列和不等式的综合运用．作为高考的必考内容，数列题常与不等式，函数等问题综合考查，综合性较强．