Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，右焦点到直线

x

a

+

y

b

=1的距离d=

6 - 3

3

，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A、B两点，过原点O作直线AB的垂线，垂足为D，求点D的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由点到直线的距离公式可得

|bc-ab|

a2+b2

=

6 - 3

3

．与e=

c

a

=

2

2

及a²=b²+c²联立解出即可；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y）．当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再由OA⊥OB?

OA

•

OB

=0?x₁x₂+y₁y₂=0?x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，把根与系数的关系代入可得k与m关系式，再由OD⊥AB得到斜率之间的一个关系式，及点D在直线AB上，又得到一个关系式，把上述三个关系式联立消去k，m即可得到点D的轨迹方程，再得到AB⊥x 轴的点D的坐标，综合起来即可．

解答：解：（1）右焦点为F（c，0）到直线

x

a

+

y

b

=1的距离d=

6 - 3

3

，∴

|bc-ab|

a2+b2

=

6 - 3

3

．
又e=

2

2

，联立得

|bc-ab| a2+b2 = 6 - 3 3 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得

a= 2 b=c=1

．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y）．
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，
联立

y=kx+m x2+2y2=2

消去y得到（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0，得1+2k²＞m²．（*）
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

．（**）
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
化为(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
把（**）代入上式得

(1+k2)(2m2-2)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m2=0，
化为3m²=2（1+k²）．①
∵OD⊥AB，∴k•

y

x

=-1，得到k=-

x

y

．②
∵点D在直线AB上，∴y=kx+m，∴m=y-kx．③
联立①②③消去k，m．得到x2+y2=

2

3

(y≠0)．
当直线AB的斜率不存在时，可得D(±

6

3

，0)，也适合上述方程．
综上可知：点D的轨迹方程为x2+y2=

2

3

．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程的根与系数的关系、垂直与数量积的关系等是解题的关键．