Question

【题目】定义max{x1，x2，x3，…，xn}表示x1，x2，x3，…，xn中的最大值.已知数列an=，bn=，cn=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*.记dn=max{an，bn，cn}

（Ⅰ）求max{an，bn}

（Ⅱ）当k=2时，求dn的最小值；

（Ⅲ）k∈N*，求dn的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当，max{an，bn}=，当，max{an，bn}=；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由题意，max{an，bn}＝max{，}，，分别求得k＝1、k＝2及k≥3时，分别求得max{an，bn}；

（Ⅱ）当k＝2时，由（Ⅰ）可得dn＝max{an，cn}＝max{，}，根据数列的单调性求得n，dn取得最小值，4445，分别求得d44和d45，比较即可求得dn取得最小值；

（Ⅲ）由（II）可知，当k＝2时，dn的最小值为，当k＝1及k≥3时，根据函数单调性，分别求得可能取最小值时，n的取值，比较即可求得dn取得最小值.

解：（ I）由题意，max{an，bn}＝max{，}，

因为，

所以，当k＝1时，，则max{an，bn}＝bn，

当k＝2时，，则max{an，bn}＝an，

当k≥3时，，则max{an，bn}＝an．

（ II）当k＝2时，dn＝max{an，bn，cn}＝max{an，cn}＝max{，}，

因为数列{an}为单调递减数列，数列{cn}为单调递增数列，

所以当时，dn取得最小值，此时n．

又因为4445，

而d44＝max{a44，c44}＝a44，d45＝c45，有d44＜d45．

所以dn的最小值为．

（ III）由（II）可知，当k＝2时，dn的最小值为．

当k＝1时，dn＝max{an，bn，cn}＝max{bn，cn}＝max{，}．

因为数列{bn}为单调递减数列，数列{cn}为单调递增数列，

所以当时，dn取得最小值，此时n．

又因为7273，

而d72＝b72，d72＝c72，．

此时dn的最小值为，．

（2）k≥3时，，an＞bn，

所以dn＝max{an，bn，cn}＝max{an，cn}≥max{，}．

设hn＝max{，}，

因为数列{an}为单调递减数列，数列{}为单调递增数列，

所以当时，hn取得最小值，此时n．

又因为3637，

而h36＝a36，h37，．

此时dn的最小值为，．．

综上，dn的最小值为d44．