Question

已知数列{a_n}满足

2an

an+2

an+1(n∈N*)，且a1=

1

1006

．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列，并求通项a_n；
（Ⅱ）若bn=

2-2010an

an

，且cn=bn•(

1

2

)n(n∈N*)，求和T_n=c₁+c₂+…+c_n；
（Ⅲ）比较Tn与

5n

2n+1

的大小，并予以证明．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵

2an

an+2

=an+1，an≠0?

1

an+1

=

1

an

+

1

2

数列{

1

an

}是首项为

1

a1

，公差为

1

2

的等差数列，…（2分）
故

1

an

=

1

a1

+(n-1)•

1

2

=

2+(n-1)a1

2a1

因为a₁=

1

1006

所以数列{x_n}的通项公式为a_n=

2a1

(n-1)a1+2

=

2

n+2011

．（4分）
（Ⅱ）将a_n代入b_n可求得b_n=

2-2010× 2 n+2011

2 n+2011

=n+1，
所以cn=bn•(

1

2

)n=(n+1)(

1

2

)n…（5分）
T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n①

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1②…（7分）
由①-②得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n-1)(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

∴T_n=3-

n+3

2n

…（9分）
（Ⅲ）T_n-

5n

2n+1

=3-

n+3

2n

-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

于是确定T_n与

5n

2n+1

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小
当n=1时，T_n=3-

n+3

2n

=3-2=1，

5n

2n+1

=

5

3

，T_n＜

5n

2n+1

，
当n=2时，T_n=3-

n+3

2n

=3-

5

4

=

7

4

，

5n

2n+1

=2，T_n＜

5n

2n+1

，
当n=3时，2³=8＞2×3+1=7，
当n=4时，2⁴=16＞2×4+1=9，
…
可猜想当n≥3时，2ⁿ＞2n+1…（11分）
证明如下：
（1）当n=3时，由上验算显示成立，
（2）假设n=k时成立，即2^k＞2k+1
则n=k+1时2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时猜想也成立
综合（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有2ⁿ＞2n+1…（12分）
综上所述，当n=1，2时，T_n＜

5n

2n+1

，
当n≥3时，T_n＞

5n

2n+1

．…（13分）