Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中直线A₁C₁与平面A₁BD夹角的余弦值是（　　）

• A、

  2

  4

• B、

  2

  3

• C、

  3

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

分析：利用割补法易得：V_C1-A1BD，再结合三棱锥的体积法，求得点C₁到平面A₁BD的距离，求出直线A₁C₁与平面A₁BD夹角的正弦值，即可求出直线A₁C₁与平面A₁BD夹角的余弦值．

解答：解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为a，构造三棱锥C₁-A₁DB，其体积为：
∵V=V_正方体-4V _A-A1BD=a³-4×

1

6

a³=

1

3

a³，
设点C₁到平面A₁BD的距离是h，
又三棱锥C₁-A₁DB的体积=

1

3

×S_A1BD×h，
∴

1

3

a³=

1

3

×S_A1BD×h，
∴h=

2 3 a

3

，
设直线A₁C₁与平面A₁BD夹角为α，则sinα=

2 3 a 3

2 a

=

6

3

，
∴cosα=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
即直线A₁C₁与平面A₁BD夹角的余弦值是

3

3

．
故选C．

点评：本小题主要考查空间线面关系、点、线、面间的距离计算、几何体的体积等知识，考查空间角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．