Question

函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对于定义域内的任意x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且f（2）=1，则f(

2

2

)的值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．-

  1

  2

• C．2
• D．-2

Answer 1

分析：利用赋值法，令x=2，y=1得f（2）=f（2×1）=f（2）+f（1），可得 f（1）=0，同理可得 f（

1

2

）=-1，最后令x=y=

2

2

，从而得到所求．

解答：解：令x=2，y=1得，f（2）=f（2×1）=f（2）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=2，y=

1

2

得，f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)=-1
令x=y=

2

2

得，
f(

1

2

)=f(

2

2

×

2

2

)=f(

2

2

)+f(

2

2

)=2f(

2

2

)=-1，
∴f(

2

2

)=-

1

2

故选B．

点评：本题考查抽象函数的应用，利用赋值法求出f（1）=0 和f（

1

2

）=-1，是解题的关键．