Question

（2012•虹口区一模）已知椭圆P的焦点坐标为

0，±1

，长轴等于焦距的2倍．
（1）求椭圆P的方程；
（2）矩形ABCD的边AB在y轴上，点C、D落在椭圆P上，求矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意易得：a=2c=2，b²=3，由此即可得到椭圆P的方程；
（2）设D（x，y），可根据圆柱体侧面积公式得到S_侧=4π|xy|．再由点D在椭圆上，代入椭圆再结合基本不等式可得|xy|≤

3

，从而得到所求侧面积的最大值为4

3

π．

解答：解：（1）由题意，得c=1且2a=2×2c，所以a=2，b²=a²-c²=3
∴椭圆P的方程为

x2

3

+

y2

4

=1…（4分）
（2）矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S_侧=2π•|BC|•|AB|=4π|xy|…（7分）
设D

x，y

，由点D在椭圆上，得1=

x2

3

+

y2

4

≥2

x2 3 • y2 4

=

|xy|

3

，得|xy|≤

3

，
当

x2

3

=

y2

4

=

1

2

，即|x|=

6

2

，|y|=

2

时取等号．…（12分）
∴S_侧=4π|xy|≤4

3

π，当|x|=

6

2

，|y|=

2

时，侧面积的最大值为4

3

π．…（14分）

点评：本题给出矩形一边在y轴，另两个顶点在椭圆上，求矩形旋转构成圆柱侧面积的最大值，着重考查了椭圆的简单性质、基本不等式和旋转体的侧面积等知识，属于中档题．