Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2．数列{b_n}满足bn=an+1+(-1)nan，n∈N₊．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求数列{b_n}的前6项和S₆；
（2）若数列{b_n}是公差为2的等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₂=2，可得a_n=n，由此求得 数列{b_n}的前6项，即可得到数列{b_n}的前6项和S₆ 的值．
（2）由题意可得 b_n =2n-1，故有b_2n-1=a_2n-a_2n-1=4n-3，b_2n=a_2n+1+a_2n=4n-1，相减可得 a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+3+a_2n+1=2，a_2n+3=a_2n-1，求得a_4n-3=a₁=1，a_4n-1=a₃=1，由此得到数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，a₁=1，a₂=2，∴a_n=n．再由数列{b_n}满足bn=an+1+(-1)nan，n∈N₊．
可得 b₁=b₃=b₅=1，b₂=5，b₄=9，b₆=13，∴数列{b_n}的前6项和S₆=30．
（2）∵数列{b_n}是公差为2的等差数列，b₁=a₂-a₁=1，∴b_n =2n-1．
再由bn=an+1+(-1)nan可得b_2n-1=a_2n-a_2n-1=4n-3，b_2n=a_2n+1+a_2n=4n-1．
相减可得 a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+3+a_2n+1=2，∴a_2n+3=a_2n-1．
∵a₁=1，a₃=1，∴a_4n-3=a₁=1，a_4n-1=a₃=1．
∴a_n=

1  ， n为奇数 2n-2 ， n为偶数

．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，根据递推关系求通项，属于难题．