Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2，记b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）求b₁，并证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=4a_n+2得，当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2，两式相减得出a_n+1=4a_n-4a_n-1，移向a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），可证{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=3•2^n-1，a_n+1-2a_n=3•2^n-1，两边同除以2ⁿ，构造出，数列{

an

2n

}是首项

1

2

，公差为

3

4

的等差数列．通过数列{

an

2n

}的通项求出{a_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
∴S₂=4a₁+2=a₁+a₂，a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁．=3，
另外，由S_n+1=4a_n+2得，当n≥2时，有S_n=4a_n-1+2，
∴S_n+1-S_n=（4a_n+2）-（4a_n-1+2），
即a_n+1=4a_n-4a_n-1，a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），n≥2
又∵b_n=a_n+1-2a_n．∴b_n=2b_n-1．
∴数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=3•2^n-1，
  a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，数列{

an

2n

}是首项

1

2

，公差为

3

4

的等差数列．

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

a_n=（3n-1）•2^n-2

点评：本题考查数列递推公式与通项公式，考查推理论证，运算求解能力．