Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=n （3-b_n），求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列中a_n与 Sn关系解决．
（2）结合（1）所求得出b_n+1-b_n=．利用累加法求b_n
（3）由上求出c_n=n （3-b_n）=，利用错位相消法求和即可．
解答：解：（1）因为n=1时，a₁+S₁=a₁+a₁=2，所以a₁=1．
因为S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，所以a_n+1+S_n+1=2．
两式相减：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0，即a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n．
因为a_n≠0，所以=（ n∈N^*）．
所以数列{a_n}是首项a₁=1，公比为的等比数列，a_n=（ n∈N^*）．
（2）因为b_n+1=b_n+a_n（ n=1，2，3，…），所以b_n+1-b_n=．从而有b₂-b₁=1，b₃-b₂=，b₄-b₃=，…，b_n-b_n-1=（ n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得b_n-b₁=1+++…+==2-．
又因为b₁=1，所以b_n=3-（ n=1，2，3，…）．
（3）因为c_n=n （3-b_n）=，
所以T_n=．   ①
=．       ②
①-②，得=-．
故T_n=-=8--=8-（ n=1，2，3，…）．
点评：本题考查利用数列中a_n与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．