题目内容
已知函数f（x）=4lnx-ax+
（a≥0）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a≥1时，设g（x）=2ex-4x+2a，若存在x1，x2∈[
，2]，使f（x1）＞g（x2），求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数，e=2.71828…）
| a+3 |
| x |
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a≥1时，设g（x）=2ex-4x+2a，若存在x1，x2∈[
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=
-a-
=
，（x＞0），令h（x）=-ax2+4x-（a+3），
（1）当a=0时，h（x）=4x-3，令h（x）＞0，得x＞
，此时f′（x）＞0；令h（x）＜0，得0＜x＜
，此时f′（x）＜0，∴f（x）的减区间为（0，
]，增区间为[
，+∞）；
（2）当a＞0时，△=42-4（-a）[-（a+3）]=-4（a-1）（a+4），
①若a≥1，则△≤0，∴h（x）≤0，f′（x）≤0，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
②若0＜a＜1，则△＞0，x1+x2=
＞0，x1x2=
＞0，∴x1=
＞0，x2=
＞0，
当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，x2）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上，当a=0时，f（x）的减区间为（0，
]，增区间为[
，+∞）．
当0＜a＜1时，f（x）的减区间为（0，
），（
，+∞）；增区间为（
，
）．
当a≥1时，f（x）的减区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a≥1时，f（x）在[
，2]上单调递减，∴f（x）在[
，2]上的最大值为f（
）=-4ln2+
a+6，
g′（x）=2ex-4，令g′（x）=0，得x=ln2．当x∈[
，ln2）时，g′（x）＜0，∴g（x）单调递减，x∈（ln2，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）在[
，2]上的最小值为g（ln2）=4-4ln2+2a，
由题意可知-4ln2+
a+6＞4-4ln2+2a，解得a＜4，又a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，4）．
f′（x）=
| 4 |
| x |
| a+3 |
| x2 |
| -ax2+4x-(a+3) |
| x2 |
（1）当a=0时，h（x）=4x-3，令h（x）＞0，得x＞
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（2）当a＞0时，△=42-4（-a）[-（a+3）]=-4（a-1）（a+4），
①若a≥1，则△≤0，∴h（x）≤0，f′（x）≤0，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
②若0＜a＜1，则△＞0，x1+x2=
| 4 |
| a |
| a+3 |
| a |
2-
| ||
| a |
2+
| ||
| a |
当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，x2）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上，当a=0时，f（x）的减区间为（0，
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
当0＜a＜1时，f（x）的减区间为（0，
2-
| ||
| a |
2+
| ||
| a |
2-
| ||
| a |
2+
| ||
| a |
当a≥1时，f（x）的减区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a≥1时，f（x）在[
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
g′（x）=2ex-4，令g′（x）=0，得x=ln2．当x∈[
| 1 |
| 2 |
∴g（x）在[
| 1 |
| 2 |
由题意可知-4ln2+
| 3 |
| 2 |
所以实数a的取值范围为[1，4）．
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