Question

已知两定点M（-2，0），N（2，0），若直线上存在点P，使得|PM|-|PN|=2，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：
①y=x+1   ②y=x+2  ③y=-x+3   ④y=-2x
其中是“A型直线”的序号是（ ）
A．①④
B．③④
C．②③
D．①③

Answer 1

【答案】分析：根据双曲线的定义，可求得点P的轨迹方程，从而可利用双曲线的性质结合新定义“A型直线”即可获得答案．
解答：解：∵两定点M（-2，0），N（2，0），直线上存在点P（x，y），使得|PM|-|PN|=2，
∴点P的轨迹是双曲线，其中2a=2，2c=4，
∴点P的轨迹方程方程为：x²-=1（x≥1），
∴其渐近线方程为：y=±x，
∵①y=x+1经过（0，1）且斜率k=1＜，
∴该直线与双曲线x²-=1（x≥1）有交点，
∴该直线是“A型直线”；
对于②，∵y=x+2经过（0，2）且斜率k=，显然该直线与其渐近线方程y=x平行，该直线与双曲线无交点，
∴该直线不是“A型直线”，即②不符合；
对于③，∵y=-x+3 经过（0，3）且斜率k=-1＞-，
∴该直线与双曲线x²-=1（x≥1）有交点，故③符合；
同理可得，④y=-2x的斜率k=-2＜-，
∴该直线与双曲线x²-=1（x≥1）无交点，
综上所述，①③符合．
故选D．
点评：本题考查双曲线的概念与性质，考查其渐近线方程的应用，突出转化思想与分析应用能力的考查，属于中档题．