Question

已知函数f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin²θ－mcosθ－2m,θ∈［0,］,设M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M∩N.

Answer 1

M∩N={m|m>4－2}

解析:

∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，

∴f(x)在(－∞,0)上也是增函数.

又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,从而，当f(x)＜0时，有x＜－1或0＜x＜1,

则集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1,

∴M∩N={m|g(θ)＜－1.

由g(θ)＜－1,得cos²θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0,］,

令x=cosθ,x∈［0,1］得  x²>m(x－2)+2,x∈［0,1］，

令①: y₁=x²,x∈［0,1］及②y₂=m(m－2)+2,

显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，

在同一坐标系内由x∈［0,1］得y₁>y₂.

∴m>4－2,故M∩N={m|m>4－2}.