Question

在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,设M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、C₁D₁、B₁C₁的中点,求证:

(1)E、F、B、D四点共面;

(2)平面AMN∥平面EFBD.

Answer 1

证明:(1)分别连结B₁D₁、ED、FB,由正方体性质知B₁D₁∥BD,

∵E、F分别是D₁C₁和B₁C₁的中点,

∴EFB₁D₁,∴EFBD.

∴E、F、B、D共面.

(2)连结A₁C₁交MN于点P,交EF于点Q,

连结AC交BD于点O,分别连结PA、QO.

∵M、N为A₁B₁、A₁D₁的中点,∴MN∥EF,EF面EFDB.

∴MN∥面EFDB.∵PQAO,

∴四边形PAOQ为平行四边形.∴PA∥QO.而QO平面EFBD,∴PA∥平面EFBD且PA∩MN=P,PA、MN面AMN.

∴平面AMN∥平面EFBD.