Question

（2012•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，点E到两点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和为2

2

，设点E的轨迹为曲线C．
（1）写出C的方程；
（2）设过点F₂（1，0）的斜率为k（k≠0）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义可知，点E的轨迹C是以两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）为焦点，长半轴长为2

2

的椭圆，由此可得曲线C的方程；
（2）先写出直线MN的方程为y=k（x-1），联立直线与椭圆方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点E（x₀，y₀），根据方程的根与系数的关系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），然后由PM=PN且P在y轴上，设p （0，b），利用两点间的距离公式可求b与k的关系，然后结合△＞0可求b的范围

解答：解：（1）由椭圆的定义可知，点E的轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，以2

2

为长轴的椭圆
∵c=1，a=

2

∴b=1
∴C的方程为

x2

2

+y2=1
（2）由题意可得，直线MN的方程为y=k（x-1）
联立方程

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

可得，（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点E（x₀，y₀）
则x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

1+2k2

且△=16k⁴-8（1+2k²）（k²-1）＞0
即1+k²＞0
∵PM=PN且P在y轴上，设p （0，b）
∴x12+(y1-b)2=x22+(y2-b)2
整理可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₂-y₁）（y₂+y₁-2b）
∴x₁+x₂=k（y₁+y₂-2b）
代人可得，

4k2

1+2k2

=k(

-2k

1+k2

-2b)
∴b=-

k

1+2k2

∴2bk²+k+b=0
∴△=1-8b²＞0
∴-

2

4

＜b＜

2

4

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．