题目内容

已知数列{}中，（t＞0且t≠1）．若是函数的一个极值点．
（Ⅰ）证明数列{+1﹣}是等比数列，并求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）记，当t=2时，数列{bn}的前n项和为，求使＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有 ．
解：（Ⅰ）．
由题意，即，
∴+1﹣=t（﹣﹣1）（n≥2），
∵t＞0且t≠1，
∴数列{+1﹣}是以t2﹣t为首项，t为公比的等比数列，
∴+1﹣=（t2﹣t）tn﹣1=（t﹣1）tn
∴a2﹣a1=（t﹣1）t
a3﹣a2=（t﹣1）t2
…
﹣﹣1=（t﹣1）tn﹣1
以上各式两边分别相加得，
∴，
当n=1时，上式也成立，
∴
（Ⅱ）当t=2时，
∴=2n﹣（1+++…+）=．
由＞2008，得，，
当n≤1004时，n+＜1005，
当n≥1005时，n+＞1005，
因此n的最小值为1005．
（Ⅲ）∵
∴=
=
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，a1=t，a2=t2（t＞0）且an+1=（t+1）an-tan-1（n≥2）．
（1）若t≠1，求证：数列{an+1-an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若1＜t＜2，bn=
2an
1+
a
2
n
(n∈N*)，试比较
1
bn
+
1
b2
+…+
1
bn
与2n-2
n
2
的大小．
已知数列{an}中，a1=t（t∈R，且t≠0，1），a2=t2，且当x=t时，f（x）=
1
2
（an-an-1）x2-（an+1-an）x（n≥2）取得极值?
（1）求证：数列{an+1-an}是等比数列；
（2）若bn=anln|an|（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）当t=-
7
10
时，数列{bn}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由?
已知数列{an}中，a1=t，a2=t2（t＞0且t≠1）．若x=
t
是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点．
（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=2(1-
1
an
)，当t=2时，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有 
n
k=1
2k
(ak+1)(ak+1+1)
＜
1
3
．
已知数列{an}中，a1=t，a2=t2(t＞0)，且an+1=（t+1）an-tan-1（n≥2）．
（1）若t≠1，求证：数列{an+1-an}是等比数列．
（2）求数列{an}的通项公式．
（3）若
1
2
＜t＜2，bn=
2an
1+
a
2
n
(n∈N*)，试比较
1
b1
+
1
b2
+
1
b3
+…+
1
bn
与2n-2-
n
2
的大小．

（本小题满分14分）已知数列{an}中，（t>0且t≠1）．若是函数的一个极值点．

（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，当t=2时，数列的前n项和为Sn，求使Sn>2008的n的最小值；

（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有 。

 

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