Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对边的边长，且(

2

c-b)cosA=acosB．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=

2

，△ABC的面积为1，求b，c．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sinC不为0，即可求出cosA的值，进而确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，将bc的值代入求出b²+c²的值，两式联立即可求出b与c的值．

解答：解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：（

2

sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
整理得：

2

sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，∴cosA=

2

2

，
则A=

π

4

；
（Ⅱ）∵a=

2

，sinA=

2

2

，△ABC面积为1，
∴

1

2

bcsinA=1，即

1

2

bc×

2

2

=1，即bc=2

2

①，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-4=2，即b²+c²=6②，
联立①②解得：b=2，c=

2

或b=

2

，c=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．