题目内容
为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门组织了一次知识竞赛，现随机抽取了某校20名学生的测试成绩，得到如图所示茎叶图：
（1）若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率；
（2）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．
（1）若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率；
（2）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．
分析：（1）从这20人中随机选取3人共有
种不同情况，其中至多有1人是“优秀成绩”包括没有“优秀成绩”和有1个“优秀成绩”，利用排列组合公式，求出满足条件的情况个数，代入古典概型公式，可得答案．
（2）抽到“优秀成绩”学生的概率P=
，而ξ可以取0，1，2，3，利用独立事件概率公式，可求出ξ的分布列，代入数学期望公式，可得答案．
| C | 3 20 |
（2）抽到“优秀成绩”学生的概率P=
| 1 |
| 5 |
解答：解：（1）由茎叶图，可得20名学生的测试成绩中“优秀成绩”有4人，
设“从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩””为事件A
则P（A）=
+
=
+
=
（2）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P=
ξ可以取0，1，2，3
则P（ξ=0）=
(
)3=
P（ξ=1）=
(
)2•(
)=
P（ξ=2）=
(
)•(
)2=
P（ξ=3）=
(
)3=
∴E（ξ）=0×
+1×
+2×
+3×
=
=
设“从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩””为事件A
则P（A）=
| ||
|
| ||||
|
| 28 |
| 57 |
| 24 |
| 57 |
| 52 |
| 57 |
（2）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率P=
| 1 |
| 5 |
ξ可以取0，1，2，3
则P（ξ=0）=
| C | 0 3 |
| 4 |
| 5 |
| 64 |
| 125 |
P（ξ=1）=
| C | 1 3 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 48 |
| 125 |
P（ξ=2）=
| C | 2 3 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 12 |
| 125 |
P（ξ=3）=
| C | 3 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 125 |
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 64 |
| 125 |
| 48 |
| 125 |
| 12 |
| 125 |
| 1 |
| 125 |
| 75 |
| 125 |
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查的知识点是离散型随机变量的期望，茎叶图，古典概型，是概率与统计的综合应用，难度中档．
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