题目内容
已知函数f（x）=aInx-ax，（a∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（文科可参考公式：(Inx)′=
| 1 |
| x |
（2）若a=-1，求证；f（x）≥f（1），且
| In2 |
| 2 |
| In3 |
| 3 |
| In4 |
| 4 |
| In2010 |
| 2010 |
| 1 |
| 2010 |
分析：（1）要求f（x）的单调递增区间，先求出f′（x），大于0得到增区间；小于零得到减区间即可．
（2）因为a=1时f（x）在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）即：Inx≤x-1在（1，+∞）上恒成立，所以Inn≤n-1在n≥2，n∈N*恒成立；
≤
在n≥2，n∈N*恒成立，则ln2＜1，ln3＜2，ln4＜3，…，ln2010＜2009，利用不等式的证明方法，约分可得证．
（2）因为a=1时f（x）在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）即：Inx≤x-1在（1，+∞）上恒成立，所以Inn≤n-1在n≥2，n∈N*恒成立；
| Inn |
| n |
| n-1 |
| n |
解答：解：（1）依题意得：f′（x）=
a＞0，单调递增区间（0，1）；
a＜0，单调递增区间（1，+∞）；a=0，无增区间．
（2）若a=-1，由（1）得f（x）在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）
即：Inx≤x-1在（1，+∞）上恒成立，
所以Inn≤n-1在n≥2，n∈N*恒成立
≤
在n≥2，n∈N*恒成立
故
•
•
•
＜
•
=
| -a(x-1) |
| x |
a＜0，单调递增区间（1，+∞）；a=0，无增区间．
（2）若a=-1，由（1）得f（x）在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）
即：Inx≤x-1在（1，+∞）上恒成立，
所以Inn≤n-1在n≥2，n∈N*恒成立
| Inn |
| n |
| n-1 |
| n |
故
| In2 |
| 2 |
| In3 |
| 3 |
| In4 |
| 4 |
| In2010 |
| 2010 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 2009 |
| 2010 |
| 1 |
| 2010 |
点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，灵活运用不等式的证明方法的能力．
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