Question

已知四棱锥的底面是平行四边形，,，面，
且．若为中点，为线段上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）求PC与平面PAD所成角的正弦值．

 

Answer 1

(1)详见解析;(2)．

试题分析：（1）连结BD交AC于O，取PF中点G，连结OF，BG，EG，利用EO，EG分别为BG，FC的中位线，得到它们对应平行，进而得到平面BEG与平面ACF平行，再由面面平行的性质得到线面平行．
（2）要求线面角，需要先找到线面角的代表角，即过C点做面PAD的垂线，因为PA垂直于底面，所以过C作线段AD的垂线与AD交于H，则CH垂直于面PAD，所以角CPH即为线面角的代表角，要求该角的正弦值，就需要求出PC与CH，可以利用△PAC和△ACH为直角三角形通过勾股定理求出，进而得到线面角的正弦值．
解：（1）证明1：连接BD交AC于点O，取中点，连接、、．

因为、分别是、的中点， 所以，      
又         ，所以             2分
因为、分别是、的中点，
所以，同理可得        4分
又 所以，平面平面．
又因为平面，故平面．      6分
证明2：作AH垂直BC交BC于H
建立如图的空间直角坐标系O-XYZ，

令AD=PA=2,则AB=1
所以
为中点， 所以     2分
设面AFC的一个法向量，又
由,
所以 
令      4分
所以
所以  故平面．                              6分
（2）解1：因为，，所以．
过C作AD的垂线，垂足为H，则，，所以平面PAD．
故为PC与平面PAD所成的角．                  9分
设，则，，，
所以，即为所求．                 12分
解2：作AH垂直BC交BC于H，建立如图的空间直角坐标系O-XYZ，

令AD=PA=2,则AB=1,所以          8分
因为,所以面PCD的一个法向量为       10分
令PC与平面PAD所成的角为，则
故PC与平面PAD所成角的正弦值为．    12分．