Question

已知函数f（x）为R上的奇函数，且f（1）=-1，对任意a，b∈R，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＜0．
（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（2）解关于x的不等式f[

k(1-x)

x-2

]＜1(0≤k＜1)．

Answer 1

分析：（1）确定函数f（x）在R上的单调递减，再利用函数单调性的定义进行证明；
（2）利用函数的单调性，将不等式化为具体不等式，再分类讨论，即可求得结论．

解答：解：（1）由函数f（x）为R上的奇函数，得f（0）=0，
又已知f（1）=-1，所以函数f（x）在R上的单调递减．
证明：令任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，在已知中，取a=x₁，b=-x₂，则

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＜0，
∵函数f（x）为R上的奇函数，∴f（-x₂）=-f（x₂），
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在R上的单调递减；
（2）∵1=-f（1）=f（-1）
∴由f[

k(1-x)

x-2

]＜1，得：f[

k(1-x)

x-2

]＜f(-1)
∵函数f（x）在R上的单调递减
∴

k(1-x)

x-2

＞-1，即：

(1-k)x+k-2

x-2

＞0
∴当0＜k＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞

2-k

1-k

}；
当k=0时，不等式的解集为{x|x≠2}．

点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，确定函数的单调性是关键．