Question

过抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？

Answer 1

解：抛物线ｙ²＝４ｘ的准线与对称轴的交点为（-1，0）设直线MN的方程为y＝k（ｘ＋1）.

由得k²x²＋2（k²－2）x＋k²＝０.

∵直线与抛物线交于M、N两点,

∴Δ＝4（k²－2）²－4k⁴＞０,

即k²＜|k²－2|，k²＜1，－1＜ｋ＜1.

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），抛物线焦点为F(1，0)?

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点,?

∴MF⊥NF.

∴·＝－１,即ｙ₁ｙ₂＋ｘ₁ｘ₂－（ｘ₁＋ｘ₂）＋1＝0.

∴k=±,

即直线的倾斜角为arctan或π-arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.