Question

如图,已知正方体ABCD—A′B′C′D′中,面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且B′E=C′F,?求证:

(1)EF∥平面ABCD;

(2)平面ACD′∥平面A′BC′.

Answer 1

(1)证法一:(由线线平行证线面平行)如图(1),过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于M、N,连结MN,

           (1)

∵BB′⊥平面ABCD,

∴BB′⊥AB,BB′⊥BC.

∴EM∥BB′,FN∥BB′.

∴EM∥FN.

∵AB′=BC′,B′E=C′F,

∴AE=BF.又∠B′AB=∠C′BC=45°,

∴Rt△AME≌Rt△BNF.∴EM=FN.

∴四边形MNFE是平行四边形.

∴EF∥MN.又MN平面ABCD,

∴EF∥平面ABCD.

证法二:(由面面平行证线面平行)过E作EG∥AB交BB′于G,连结GF,

∴.∵B′E=C′F,B′A=C′B,

∴.∴FG∥B′C′∥BC.

又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,

∴平面EFG∥平面ABCD.

又EF平面EFG,∴EF∥平面ABCD.

                (2)

(2)证法一:(由线线平行证面面平行)如图(2),

∵正方体ABCD—A′B′C′D′中,AD′∥BC′,CD′∥BA′,

又AD′∩CD′=D′,BC′∩BA′=B,

∴平面ACD′∥平面A′BC.

证法二:(由线面垂直证面面平行)连结B′D,

∵A′B′⊥平面AD′,A′D⊥AD′,

∴B′D⊥AD′.(三垂线定理),同理B′D⊥CD′,又AD′∩CD′=D′,

∴B′D⊥平面ACD′.同理,B′D⊥平面A′BC′,

∴平面ACD′∥平面A′BC′.