Question

（2012•河北模拟）a，b都为正实数，且

1

a

+

1

b

=1，则

2+b

2ab

的最大值为（　　）

• A．

  9

  16

• B．

  1

  2

• C．

  5

  16

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：根据题意，由

1

a

+

1

b

=1，可得

1

a

=1-

1

b

，将其代入

2+b

2ab

中，变形可得

2+b

2ab

=

1

2

×[1+

1

b

-2（

1

b

）²]，是以

1

b

为自变量的二次函数，由二次函数的性质，分析可得答案．

解答：解：根据题意，由

1

a

+

1

b

=1，可得

1

a

=1-

1

b

，
又由a，b都为正实数，则1-

1

b

＞0，解可得0＜

1

b

＜1，
则

2+b

2ab

=

1

a

×

2+b

2b

=

b-1

b

×

2+b

2b

=

1

2

×[1+

1

b

-2（

1

b

）²]，
由二次函数的性质可得

1

b

=-

1

2×(-2)

=

1

4

时，

2+b

2ab

取得最大值，且最大值为

9

16

；
故选A．

点评：本题考查二次函数的性质，关键是根据题意，将

2+b

2ab

变形为以

1

b

为自变量的二次函数形式，其次要注意

1

b

的取值范围．