Question

如图，多面体ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD；三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1
（1）求直线AE和面CDE所成角的正切值；
（2）求多面体ABCDE的体积；
（3）判断直线CB和AE能否垂直，证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由题意及所给图形，要求线面角，必需找到该斜线与其射影的夹角，而射影线是斜足与垂足所成的线，进而在三角形中求出线面角 即可；
（2）利用棱锥的体积公式，由平面ABED⊥平面ACD，利用两垂直平面的性质的到线面垂直，进而求出四棱锥的体积；
（3）利用向量的知识，利用线面垂直的判定定理证出线面垂直，进而得到线线垂直．

解答：解：（1）取CD的中点F，连接AF、EF，△ACD为正三角形，
∴AF⊥CD，DE⊥平面ACD，
∴平面CDE⊥平面ACD，
∴AF⊥平面CDE，∠AEF为所求AE和平面CDE所成的角，AF=

3

，EF=

5

，tan∠AEF=

15

5

直线AE和面CDE所角的正切值是

15

5

．

（2）取AD中点G，平面ABED⊥平面ACD，CG⊥AD，
∴CG⊥平面ABED
∴V=

1

3

SABED•CG=

1

3

×

1+2

2

×

3

=

3

（3）证明：CB⊥AE，如图建立坐标系：
则E（2，0），A（0，2），B（1，2），G（0，1），

AE

=(2，-2)，

GB

=(1，1)，

AE

•

GB

=0，
∴AE⊥GB
∵CG⊥AE，11
∴AE⊥平面CGB，∴AE⊥CB．

点评：（1）此问重点考查了利用面面垂直的性质得到线面垂直，还考查了线面角的概念及线面角的求法；
（2）此问重点考查了四棱锥的体积公式；
（3）此问重点考查了利用向量的知识求证线面垂直进而得到线面垂直．