Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，l₀为过点A（-2，0）和上顶点B₂的直线，下顶点B₁与l₀的距离为

4 5

5

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的动弦CD交l₀于M，若M为线段CD的中点，线段CD的中垂线和x轴交点为N（n，0），试求n的范围．

Answer 1

（I）直线l₀的方程为

x

-2

+

y

b

=1，
即bx-2y=-2b，又B₁（0，-b），
∴

|4b|

4+b2

=

4 5

5

，解得b=1，
又

6

3

=

c

a

=

a2-1

a

，得a²=1． ①
所以，椭圆方程为

x2

3

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由题意直线CD的斜率存在，设为k，
则

x 21 3 + y 21 =1 x 22 3 + y 22 =1 ① x1+x2=2x0 y1+y2=2y0 k= y2-y1 x2-x1 ②

②-①得

x2+x1

3

+(y2+y1)•

y2-y1

x2-x1

=0
∴k=-

x0

3y0

（7分）
∴线段CD的中垂线方程为：y-y0=

3y0

x0

(x-x0)
令y=0，则n=

2

3

x0．（9分）
又联立l₀与椭圆方程

x-2y=-2 x2 3 +y2=1

，有7x²+12x=0，
得x=0、-

12

7

，
即有-

12

7

＜x0＜0，（11分）
∴-

8

7

＜n＜0（12分）