题目内容

若x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x1=-
1
3
，x2=1，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2
3
，求b的最大值．
（1）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），∴f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
依题意有-
1
3
和1是方程3ax2+2bx-a2=0的两根
∴
-
2b
3a
=
2
3
-
a
3
=-
1
3
解得
a=1
b=-1
，∴f（x）=x3-x2-x．（经检验，适合）．
（2）∵f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
依题意，x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，∵x1x2=-
a
3
＜0且 |x1|+|x2|=2
3
，
∴(-
2b
3a
)2+
4a
3
=12，∴b2=3a2（9-a）
∵b2≥0∴0＜a≤9．
设p（a）=3a2（9-a），则p'（a）=54a-9a2．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函数p（a）在区间（0，6]上是增函数，在区间[6，9]上是减函数，
∴当a=6时，p（a）有极大值为324，∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值为18．
练习册系列答案
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