Question

若函数y=f（x）（x∈R⁺）同时满足：①对一切正数x都有f（3x）=3f（x），②f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），则f（100）=则方程f（x）=f（100）的解的最小值为________．

Answer 1

46
分析：f（100）=3f（）=3f（3×）=9f（）=…=81f（），由此猜想f（x）=，由，知=81•[1-||]=19，f（100）=19，由此能求出方程f（x）=f（100）解的最小值．
解答：f（100）=3f（）=3f（3×）=9f（）=…=81f（），
由此猜想f（x）=，
∵，∴=81•[1-||]=19，
∴f（100）=19，
由f（x）=19，知，
当1，即3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹时，可化为，
即3ⁿ-|2•3ⁿ-x|=19，x=19+3ⁿ，或x=3ⁿ⁺¹-19，
又3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹，则n≥3，
当n=3时，x=19+27=46，，或x=62，[1，3]，
故方程f（x）=f（100）解的最小值为46．
点评：本题考查归纳推理的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意抽象函数的性质及其应用．