Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

.

2n 1 n2 5

.

 （n∈N⁺）
（1）求S_n的最大值；
（2）若b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由二阶矩阵可求通项a_n=11-2n，再由等差数列的求和公式求出s_n，结合二次函数的性质可求s_n取得最大值．
（2）令a_n=11-2n≥0，解出n的范围，然后可得T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，结合数列项的正负去掉绝对值符合，然后结合等差数列的求和公式即可求解

解答：解：（1）S_n=

.

2n 1 n2 5

.

=11-2n=-（n-5）²+25，-------------（3分）
所以，当n=5时，s_n取得最大值25．-------------（6分）

（2）令a_n=11-2n≥0，得n≤

11

2

．-------------（8分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
当n≤5时，a_n＞0，b_n=a_n，T_n=a₁+a₂+…+a_n=S_n=10n-n²，-------------（9分）
当n＞5 时，a_n＜0，b_n=-a_n，T_n=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-（a₆+a₇+…a_n）=2S₅-S_n=n²-10n+50-------------（11分）
综上可知，数列{b_n}的前n项和T_n=

10n-n2，n≤5 50-10n+n2，n＞5

．-------（12分）

点评：本题考查等差数列的前n项和的计算，公式法和分组求和法．b_n=|a_n|含有绝对值符号，所以还要进行分类讨论．