Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由已知f′(x)=2+

1

x

 (x＞0)，则f'（1）=2+1=3．
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（Ⅱ）f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)．
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f'（x）=0，得x=-

1

a

．
在区间(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0，在区间(-

1

a

，+∞)上f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为(0，-

1

a

)，单调递减区间为(-

1

a

，+∞)；
（Ⅲ）由已知，转化为f（x）_max＜g（x）_max，
因为g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
所以g（x）_max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a＜0时，f（x）在（0，-

1

a

）上单调递增，在（-

1

a

，+∞）上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）=-1-ln（-a），
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜-

1

e3

．