Question

已知函数f(x)＝.

(1)判断f(x)的奇偶性．

(2)确定f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数？在区间(0，＋∞)上呢？请证明你的结论．

Answer 1

解：(1)因为f(x)的定义域为R，

又f(－x)＝＝＝f(x)，

所以f(x)为偶函数．

(2)f(x)在(－∞，0)上是增函数，由于f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数．

证明：取x₁<x₂<0，f(x₁)－f(x₂)＝－＝＝.

因为x₁<x₂<0，所以x₂－x₁>0，x₁＋x₂<0，

且x＋1>0，x＋1>0.

所以f(x₁)－f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)．

所以f(x)在(－∞，0)上为增函数．

同理，f(x)在(0，＋∞)上为减函数．

点评：利用函数奇偶性的定义判断奇偶性的步骤：

第一步：确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

第二步：确定f(－x)与f(x)的关系；

第三步：根据定义，作出相应的结论：

若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；

若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．

若第一步中求出的函数定义域不关于原点对称，则不需进行第二步和第三步的判断，而直接得出结论函数既不是奇函数，也不是偶函数．