题目内容
（2013•深圳一模）已知f(x)=x-
(a＞0)，g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立；
（3）求证：
＞ln(2n+1)(n∈N*)．
| a |
| x |
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，xk都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立；
（3）求证：
| n |
 |
| i=1 |
| 4i |
| 4i2-1 |
分析：（1）首先设出直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，把切点代入两曲线方程后联立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），分离变量a后对函数进行两次求导得到函数在区间[1，+∞）内的最小值，则实数a的范围可求；
（2）当a=1时可证得函数f（x）在[e，3]上为增函数，而g（x）也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k；
（3）该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n=k+1成立时，穿插运用分析法．
（2）当a=1时可证得函数f（x）在[e，3]上为增函数，而g（x）也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k；
（3）该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n=k+1成立时，穿插运用分析法．
解答：解：（1）设点（x0，y0）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0-2①
∵g′(x)=
+b，∴
+b=2②
由②得，2x0-2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，则g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x），即x-
≥2lnx，整理得
≤x-2lnx，
∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2-2xlnx恒成立．
设h（x）=x2-2xlnx，h′(x)=2x-2(lnx+x•
)=2x-2lnx-2，
∵h″(x)=2-
，∴当x≥1时，h''（x）≥0，则h'（x）是增函数，
∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函数，则h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．
又a＞0，因此，实数a的取值范围是0＜a≤1．
（2）当a=1时，f(x)=x-
，∵f′(x)=1+
＞0，∴f（x）在[e，3]上是增函数，
f（x）在[e，3]上的最大值为f(3)=
．
要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…，xk，都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立，
必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=…=xk-1=3时不等式左边取得最大值，
xk=e时不等式右边取得最小值．∴（k-1）f（3）≤16g（3），即(k-1)×
≤16×2，解得k≤13．
因此，k的最大值为13．
（3）证明：1°当n=1时，左边=
，右边=ln3，
根据（1）的推导有，x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即x-
＞2lnx．
令x=3，得3-
＞2ln3，即
＞ln3．
因此，n=1时不等式成立．
2°假设当n=k时不等式成立，即
＞ln(2k+1)，
则当n=k+1时，
=
+
＞ln(2k+1)+
，
要证n=k+1时命题成立，即证ln(2k+1)+
＞ln(2k+3)，
即证
＞ln
．
在不等式x-
＞2lnx中，令x=
，得ln
＜
(
-
)=
．
∴n=k+1时命题也成立．
综上所述，不等式
＞ln(2n+1)对一切n∈N*成立．
∵g′(x)=
| 2 |
| x |
| 2 |
| x0 |
由②得，2x0-2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，则g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x），即x-
| a |
| x |
| a |
| x |
∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2-2xlnx恒成立．
设h（x）=x2-2xlnx，h′(x)=2x-2(lnx+x•
| 1 |
| x |
∵h″(x)=2-
| 2 |
| x |
∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函数，则h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．
又a＞0，因此，实数a的取值范围是0＜a≤1．
（2）当a=1时，f(x)=x-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
f（x）在[e，3]上的最大值为f(3)=
| 8 |
| 3 |
要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…，xk，都有f（x1）+f（x2）+…+f（xk-1）≤16g（xk）成立，
必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=…=xk-1=3时不等式左边取得最大值，
xk=e时不等式右边取得最小值．∴（k-1）f（3）≤16g（3），即(k-1)×
| 8 |
| 3 |
因此，k的最大值为13．
（3）证明：1°当n=1时，左边=
| 4 |
| 3 |
根据（1）的推导有，x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即x-
| 1 |
| x |
令x=3，得3-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
因此，n=1时不等式成立．
2°假设当n=k时不等式成立，即
| k |
|
| i=1 |
| 4i |
| 4i2-1 |
则当n=k+1时，
| k+1 |
|
| i=1 |
| 4i |
| 4i2-1 |
| k |
|
| i=1 |
| 4i |
| 4i2-1 |
| 4(k+1) |
| 4(k+1)2-1 |
| 4(k+1) |
| 4(k+1)2-1 |
要证n=k+1时命题成立，即证ln(2k+1)+
| 4(k+1) |
| 4(k+1)2-1 |
即证
| 4(k+1) |
| 4(k+1)2-1 |
| 2k+3 |
| 2k+1 |
在不等式x-
| 1 |
| x |
| 2k+3 |
| 2k+1 |
| 2k+3 |
| 2k+1 |
| 1 |
| 2 |
| 2k+3 |
| 2k+1 |
| 2k+1 |
| 2k+3 |
| 4(k+1) |
| 4(k+1)2-1 |
∴n=k+1时命题也成立．
综上所述，不等式
| n |
|
| i=1 |
| 4i |
| 4i2-1 |
点评：本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识，属难题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目