题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e=
3
2
．
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线y-kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．
（1）由题意得
c=3
c
a
=
3
2
，得a=2
3
．  …（2分）
结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．…（4分）
所以，椭圆的方程为
x2
12
+
y2
3
=1．        …（6分）
（2）由
x2
12
+
y2
3
=1
y=kx
，得（3+12k2）x2-12×3=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=0，x1x2=-
36
3+12k2
，…（10分）
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，…（12分）
因为
F2A
=（x1-3，y1），
F2B
=（x2-3，y2），
所以
F2A
•
F2B
=（x1-3）（x2-3）+y1y2=（1+k2）x1x2+9=0，
即
-12×3(1+k2)
3+12k2
+9=0，
解得k=±
2
4
．…（15分）
练习册系列答案
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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