Question

已知定义在全体实数上的偶函数y=f（x）在（-∞，0］上单调递减.

（1）说明函数y=f（x）在［0，+∞）上的单调性；

（2）若函数y=f（x）在（-∞，0］上单调递增，说明函数y=f（x）在［0，+∞）上的单调性；

（3）若函数y=g（x）为奇函数，又有什么样的结论?

Answer 1

思路解析：本题综合考查函数的奇偶性和单调性.

解：（1）任取x₁、x₂∈［0，+∞，使得0＜x₁＜x₂，则有-x₂＜-x₁＜0.因为y=f（x）在（-∞，0上单调递减，所以有f（-x₂）＞f（-x₁）.     ①

又因为y=f（x）是偶函数〔f（-x）=f（x）〕，所以由①式可得f（x₂）＞f（x₁），且0＜x₁＜x₂，即函数y=f（x）在［0，+∞上为增函数.

（2）任取x₁、x₂∈［0，+∞，使得0＜x₁＜x₂，则有-x₂＜-x₁＜0.因为y=f（x）在（-∞，0上单调递增，所以有f（-x₁）＞f（-x₂）.       ②

又因为y=f（x）是偶函数〔f（-x）=f（x）〕，所以由②式可得f（x₁）＞f（x₂），且0＜x₁＜x₂，即函数y=f（x）在［0，+∞)上为减函数.

（3）类似可得当函数y=f（x）为奇函数时，①若y=f（x）在（-∞，0上单调递减，则y=f（x）在［0，+∞上单调递减.②若y=f（x）在（-∞，0上单调递增，则y=f（x）在［0，+∞上单调递增.