Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=

3

csinA-acosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理将题中等式化成sin（C-

π

6

）=

1

2

，结合角C的取值范围和正弦函数的性质可得C=

π

3

；
（2）设三角形外接圆半径为R，由正弦定理结合三角恒等变换，将三角形周长化成C=4sin（A+

π

6

）+2，再根据A∈（0，

2π

3

），结合三角函数的图象与性质即可算出△ABC周长的取值范围．

解答：解：（1）∵a=

3

csinA-acosC
∴根据正弦定理，得sinA=

3

sinCsinA-sinAcosC
结合sinA＞0，两边消去sinA得1=

3

sinC-cosC，即sin（C-

π

6

）=

1

2

，
结合C-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），解之得C=

π

3

；             …（3分）
（2）设三角形外接圆半径为R，则
周长C=a+b+c=2R（sinA+sinB）+2=

2

sin π 3

[sinA+sin（A+

π

3

）]+2
=

4

3

（

3

2

sinA+

3

2

cosA）+2=4（sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

）+2
=4sin（A+

π

6

）+2                          …（6分）
∵A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），得4sin（A+

π

6

）∈（2，4]
因此，周长的取值范围为（4，6]．                  …（8分）

点评：本题给出三角形的边角关系，求C的大小并求三角形周长的取值范围．着重考查了利用正弦定理解三角形、三角恒等变换等知识，属于中档题．