Question

曲线C上任一点到点E（-4，0），F（4，0）的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A，B两点，点P在曲线C上且位于x轴上方，满足

PA

•

PF

=0．
（1）求曲线C的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）以曲线C的中心O为圆心，AB为直径作圆O，是否存在过点P的直线l使其被圆O所截的弦MN长为3

15

，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知曲线C为椭圆且a=6，c=4得b²=20，由此能求出曲线C的方程．
（2）设P（x₀，y₀）又A（-6，0），F（4，0）且

PA

•

PF

=0，代入坐标得x₀²+2x₀+y₀²-24=0，P在椭圆上故

x 2 0

36

+

y 2 0

20

=1，由P在x轴的上方得x0=

3

2

，y0=

5

2

3

，由此得到P点坐标．
（3）假设存在满足题意的直线l，若直线l得斜率不存在，则l：x=

3

2

；若直线l得斜率存在，设l：y-

5

2

3

=k(x-

3

2

)，圆心到直线的距离d=

|3k-5 3 |

4k2+4

由题意知应有d=

3

2

，所以

|3k-5 3 |

4k2+4

=

3

2

得k=

11

15

3

，l：11x-5

3

y+21=0．

解答：解（1）由题意知曲线C为椭圆且a=6，c=4得b²=20
故曲线C的方程为

x2

36

+

y2

20

=1
（2）设P（x₀，y₀）又A（-6，0），F（4，0）且

PA

•

PF

=0
代入坐标得x₀²+2x₀+y₀²-24=0①
又P在椭圆上故

x 2 0

36

+

y 2 0

20

=1②
由①②并P在x轴的上方得x0=

3

2

，y0=

5

2

3

所以P(

3

2

，

5

2

3

)
（3）假设存在满足题意的直线l1⁰若直线l得斜率不存在，则l：x=

3

2

易得|MN|=3

15

，故满足题意．（9分）2⁰若直线l得斜率存在，设l：y-

5

2

3

=k(x-

3

2

)
即2kx-2y-3k+5

3

=0
又圆心到直线的距离d=

|3k-5 3 |

4k2+4

由题意知应有d=

3

2

所以

|3k-5 3 |

4k2+4

=

3

2

得k=

11

15

3

则l：11x-5

3

y+21=0
综上得存在满足题意的直线：l：x=

3

2

或11x-5

3

y+21=0

点评：本题考查曲线方程的求法、求点P的坐标和判断直线方程是否存在，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．本题计算量较大，比较繁琐，解题时要细心运算，避免出错．