题目内容

已知 $数学公式$ ，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2010）=________．

解：当n=1时，f（1）=2cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，当n=2时，f（2）=2cos $\text{[math]}$ ，当n=3时， $\text{[math]}$ ，当n=4时， $\text{[math]}$ ，
当n=5时，f（5）= $\text{[math]}$ ；当n=6时，f（6）= $\text{[math]}$ ，当n=7时，f（7）= $\text{[math]}$ ，
当n=8时，f（8）= $\text{[math]}$ ，当n=9时，f（9）= $\text{[math]}$ ，…由以上数值出现的规律可以知道，此函数的一个周期为T=12，
利用函数的周期性，而f（1）+f（2）+f（3）+…f（12）=0，
则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=2+ $\text{[math]}$
故答案为：0．
分析：由已知f（x）=2cos $\text{[math]}$ 的解析式可以知道该函数是周期函数，所以可以先取一些函数值找起规律即可．
点评：此题考查了求函数解析式求函数值，并利用观察法得到函数的周期，利用函数的周期性进行对于很多项函数值的求解．

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定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-

（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；
（Ⅱ）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数 f（x）图象上任意两点，且0＜x₁＜x₂，若存在实数x₃＞0，使得f′（x₃）=

．请结合（I）中的结论证明x₁＜x₃＜x₂．

，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2010）= ．

已知函数f（x）满足： $数学公式$ ，f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x，y∈R），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）等于

A.
-1
B.
0
C.
$数学公式$
D.
1

已知函数f(x)＝alnx－x²＋1.

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

(2)若a<0，且对任意x₁、x₂∈(0，＋∞)，都|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|，求a的取值范围．

【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，

即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，结合构造函数和导数的知识来解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

不妨设0<x₁≤x₂，则|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等价于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x²＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x²＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范围是