Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°，且AB∥CD，AB=CD．

(1)点F在线段PC上运动，且设=λ，问当λ为何值时，BF∥平面PAD?并证明你的结论；

(2)若二面角F-CD-B为45°，求二面角B-PC-D的大小；

(3)在(2)的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

解：(1)当λ=1时，即F为PC的中点时，BF∥面PAD，取PD的中点为M，连FM，AM.∵FM∥CD∥AB，FM=CD=AB，∴四边形ABFM为平行四边形，∴BF∥AM，又AM面PAD，BF面PAD，∴BF∥面PAD．

(2)易证∠PDA为二面角F-CD-B的平面角，∴∠PDA=45 ，又M为PD的中点，∴AM⊥PD，又CD⊥面PAD，∴AM⊥CD，∴AM⊥面PCD．∵AM∥BF，∴BF⊥面PCD，BF面PBC，∴平面PBC⊥面PCD，即二面角B-PC-D为90°．

(3)延长CB交DA于T点，作AN⊥TB，连PN，则TBPAN，作AH⊥PN于H点，则AH⊥面PBC，即AH为点平面PBC的距离．

PA=AD=AT=2，AB=，AN=∴AH=

或等体积法V_A-PBC=V_P-ABC或建系均可．