Question

已知O是△ABC的外心，若A(0，0)，B(2，0)，AC=1，∠BAC=

2π

3

，且

AO

=λ

AB

+μ

AC

，则λ+μ=

13

6

．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ和μ 的值．

解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（-

1

2

，

3

2

），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-

1

4

，

3

4

），AC的斜率为-

3

，
∴中垂线n的方程为 y-

3

4

=

3

3

（x+

1

4

）．
把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，

2 3

3

），
由条件

AO

=λ

AB

+μ

AC

 得
（1，

2 3

3

）=λ（2，0）+μ（-

1

2

，

3

2

）=（2λ-

1

2

μ，

3

2

μ），
∴2λ-

1

2

μ=1，

3

2

μ=

2 3

3

．
解得 λ=

5

6

，μ=

4

3

，∴λ+μ=

13

6

，
故答案为

13

6

．

点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．