题目内容
已知数列{an}满足a1=
，an=
（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和Sn，满足：
．（I）求数列{an}、{bn}的通项公式an，bn；
（II）设
，①求数列{bncn}前n项的和Tn，②求数列
前n项的和An．
【答案】分析：（I）把式子变形，构造数列{dn}由累加法可得an，由数列的通项和前n想和的关系可得bn；
（II）①由数列{bncn}的特点，用错位相减法可求和，②式子
可化为
，下面用裂项相消法可得答案．
解答：解：（I）因为an=
（n≥2，n∈N*），
所以
，设
，
则dn-dn-1=n（n≥2，n∈N*），d1=1，
由累加法可得：
，故
∵
①，∴
②
②-①得
=bn+1，∴bn+1=-2bn
把n=1代入①式可得b1=-2，
∴
（II）由（I）可知
=
=n
①bncn=n•（-2）n
∴
n•（-2）n
-2
n•（-2）n+1
两式相减得：
（-2）n-n•（-2）n+1
=
=
故所求数列的前n项和为：
②∵sin1=sin[（n+1）-n]=sin（n+1）cosn-cos（n+1）sinn
∴
=
=
=
故所求数列的前n项和为：
An=
[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+（tan（n+1）-tann）]
=
[tan（n+1）-tann]
点评：本题为数列的综合应用，涉及累加法，错位相减法，裂项相消法，属中档题．
（II）①由数列{bncn}的特点，用错位相减法可求和，②式子
可化为，下面用裂项相消法可得答案．解答：解：（I）因为an=
（n≥2，n∈N*），所以
，设，则dn-dn-1=n（n≥2，n∈N*），d1=1，
由累加法可得：
，故∵
①，∴ ②②-①得
=bn+1，∴bn+1=-2bn把n=1代入①式可得b1=-2，
∴
（II）由（I）可知
==n①bncn=n•（-2）n
∴
n•（-2）n-2
n•（-2）n+1两式相减得：
（-2）n-n•（-2）n+1=
=故所求数列的前n项和为：
②∵sin1=sin[（n+1）-n]=sin（n+1）cosn-cos（n+1）sinn
∴
===
故所求数列的前n项和为：
An=
[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+（tan（n+1）-tann）]=
[tan（n+1）-tann]点评：本题为数列的综合应用，涉及累加法，错位相减法，裂项相消法，属中档题．
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