Question

已知函数f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，试求a的取值或取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，令其为0，由极值的定义可得答案；
（2）问题转化为f'（x）在区间[0，+∞）内恒大于或等于零，分a＜0，a=0，a＞0，易得结论．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³+x²-x，求导数可得f′（x）=3x²+2x-1，
令f′（x）=0，可解得x1=

1

3

，x₂=-1，
故x、f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值f（-1）=1	递减	极小值f( 1 3 )=- 5 27	递增

即函数的极大值为1，极小值为-

5

27

；
（2）f'（x）=3ax²+2x-a，
若f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，
则f'（x）在区间[0，+∞）内恒大于或等于零，
若a＜0，这不可能，
若a=0，则f（x）=x²符合条件，
若a＞0，则由二次函数f'（x）=3ax²+2x-a的性质知

- 2 3a ＜0 f(0)=-a＞0

，即

a＞0 a＜0

，这也不可能，
综上a=0时，f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，

点评：本题考查函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属中档题．