题目内容

已知：函数 $数学公式$ （a，b，c是常数）是奇函数，且满足 $数学公式$
（1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间（0， $数学公式$ ）上的单调性并说明理由；
（3）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，满足f（-x）=-f（x），∴c=0
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，解之得a=2，b= $\text{[math]}$
（2）由（1）可得f（x）=2x+ $\text{[math]}$
∴f（x）=2x+ $\text{[math]}$ 在区间（0，0.5）上是单调递减的
证明：设任意的两个实数0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$
∵f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =2（x₁-x₂）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
又∵0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜ $\text{[math]}$ ，1-4x₁x₂＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0
即对任意0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ ，均有f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）=2x+ $\text{[math]}$ 在区间（0， $\text{[math]}$ ）上是减函数．
（3）由（2）得f（x）=2x+ $\text{[math]}$ 在区间（0，0.5）上是单调递减函数．
类似地可证出对任意x₁＞x₂＞ $\text{[math]}$ ，均有f（x₁）＞f（x₂），
可得f（x）=2x+ $\text{[math]}$ 在区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数．
因此，函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（ $\text{[math]}$ ）=2．
分析：（1）根据函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，得到c=0，再由题中的2个等式建立关于a、b的方程组，解之即可得到a、b的值；
（2）区间（0， $\text{[math]}$ ）上任取两个自变量x₁、x₂，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，根据据单调性的定义可得f（x）=2x+ $\text{[math]}$ 在区间（0， $\text{[math]}$ ）上是减函数．
（3）根据（2）的结论，判断函数的单调性可得f（x）在区间（0， $\text{[math]}$ ）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数，因此可得函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（ $\text{[math]}$ ）=2．
点评：本题给出含有字母参数的基本初等函数，在已知函数的奇偶性情况下求参数的值，并讨论函数的单调性．着重考查了函数的简单性质和函数最值求法等知识，属于中档题．