题目内容

（1）已知函数f（x）图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点．
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（2）已知二次方程（m-2）x2+3mx+1=0的两个根分别属于（-1，0）和（0，2），求m的取值范围．
分析：（1）要判断函数零点的个数，我们可以根据图象中的数据，分析f（a）•f（b）＜0的区间有多少个，然后根据零点存在判定定理即可给出答案．
（2）如果二次方程（m-2）x2+3mx+1=0的两个根分别属于（-1，0）和（0，2），则对应的二次函数在区间（-1，0）和
（0，2）各有一个零点，根据零点存在定理，f（-1）•f（0）＜0且f（0）•f（2）＜0，解不等式组，即可求出满足条件m的取值范围．
解答：解：（1）由f（-2）•f（-1.5）＜0，f（-0.5）•f（0）＜0，f（0）•f（0.5）＜0，
得到函数在（-2，-1.5）、（-0.5，0）、（0，0.5）内有零点．
（2）设f（x）=（m-2）x2+3mx+1，则f（x）=0的两个根分别属于（-1，0）和（1，2）．
所以
f(-1)•f(0)＜0
f(2)•f(0)＜0
，
即
(-2m-1)×1＜0
(10m-7)×1＜0
，
∴-
1
2
＜m＜
7
10
．
点评：连续函数f（x）在区间（a，b）上，如果f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在区间（a，b）必然存在零点．如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，我们要分类讨论．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知函数f（x）=-x2+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率kPQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合MD是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x1，x2∈D，（x1≠x2）有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明，否则说明理由；
②当D=(0，
3
3
)，函数f（x）=x3+ax+b时，若f（x）∈MD，求实数a的取值范围．
（1）已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．①求函数f（x）的定义域．②判断函数的奇偶性，并给予证明．
（2）已知函数f（x）=ax+3，（a＞0且a≠1），求函数f（x）在[0，2]上的值域．
（1）已知函数f（x）=
x+3(x≤0)
2x(x＞0)
，则f（f（-2））为
2
2
；
（2）不等式f（x）＞2的解集是
（-1，0]∪（1，+∞）
（-1，0]∪（1，+∞）
．
（2006•浦东新区模拟）（1）已知函数f（x）=ax-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，试求a的取值范围；
②写出一组数a，x0（x0≠3，保留4位有效数字），使得f（x0）＜0成立；
（2）若曲线y=x+
p
x
（p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的取值范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间(0，
1
e
]上单调递减，在区间[
1
e
，1)上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）
给出下列四个命题：
（1）已知函数f（x）=
1
2
x2   x≤2
log2(x+a)  x＞2
在定义域内是连续函数，数列{an}通项公式为an=
1
an
，则数列{an}的所有项之和为1．
（2）过点P（3，3）与曲线（x-2）2-
(y-1)2
4
=1有唯一公共点的直线有且只有两条．
（3）向量
a
=(x2，x+1)，
b
=(1-x，t)，若函数f（x）=
a
•
b
在区间[-1，1]上是增函数，则实数t的取值范围是（5，+∞）；
（4）我们定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，则集合{2，4，6，8，10}的“孙集”有26个．
其中正确的命题有
（1）（2）（4）
（1）（2）（4）
（填序号）

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