Question

如下图所示，四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在线段PB上，PB与平面ABC成30°角.

（1）若PB=4PM，求证：CM∥平面PAD；

（2）求证：平面PAB⊥平面PAD；

（3）若点M到平面PAD的距离为，问点M位于线段PB上哪一位置？

Answer 1

解法1：（1）在AB上取一点E，使得AE=1，则CE∥AD.

又∵AB=4AE，PB=4PM，

∴EM∥PA.

∴平面PAD∥平面MEC.

∴MC∥平面PAD.

（2）分别取PA和AD的中点F、G，连结BF、FG、BG.

∵PB与平面ABC成30°角，

∴∠PBC=30°.

∴PB=4,BP=AB.∴BF⊥AP.

又∵FG=DP=,

∵AB⊥面PBC,∴AB⊥PB,BF=.

在直角梯形ABCD中，计算得BG=.

∵FG²+BF²=BG²，∴BF⊥FG,

∴BF⊥平面PAD.

∴面PAB⊥面PAD.

（3）过点M在平面PAB内作MN∥PA,

∴点M到面PAD的距离即为点N到面PAD的距离，再过点N作NO⊥PA，由面PAB⊥面PAD，

∴NO即为点N到面PAD的距离.

∴NO==.

∵NO∥BF,

∴点N为AB的中点.

∴点M为PB的中点.

或直接作MN⊥PA于点N，MN==

又MN∥BF,∴N为PF的中点.

∴点M为PB的中点.

解法2：（1）以C为原点，CD、CB、CP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC=30°.

∵|PC|=2,

∴|BC|=,|PB|=4.

∴D(1,0,0)、B（0，,0）、A（4，，0）、P（0，0，2）.

∵PB=4PM，∴M（0，,）,

=(0,,),

=(-1,0,2),=(3,,0).

设=x+y (x、y∈R),

则（0, ,）=x(-1,0,2)+y(3, ,0),

∴

∴=+.

∴、、共面，

∵C平面PAD，

∴CM∥平面PAD.

（2）作BE⊥PA于E，

∵PB=AB=4，

∴E为PA的中点.

∵E（2,,1）, =(2,,1).

∵·DA=(2,-,1)·（3，，0）=0，

∴BE⊥DA.又BE⊥PA,

∴BE⊥面PAD.

∴面PAB⊥面PAD.

（3）设=λ=λ(0,,2)=(0, λ,2λ),

∵BE⊥面PAD，

∴平面PAD的法向量n==(2,,1),

∴点M到平面PAD的距离d=.

∴λ=(负的舍去)，即点M为线段PB的中点.